已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，

问题1：过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2
2，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+（2-x）²+1=8，
化简得x²-2x+3=0，
∵△=（-2）²-4×1×3=-8<0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．
问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴[DG/GC]=[PD/CQ]=[1/2]，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即[AD/CH]=[PD/CQ]=[1/2]，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴[PA/BQ=
AG
BG]=[1/n+1]，
∴G是AB上一定点，
作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴[AD/BH=
PA
BQ=
1
n+1]，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH•cos45°=

2
2（n+4），
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为

2
2（n+4）．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

1年前

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