一道复变函数积分c2和c4是两个半圆圆

1.|f(R·e^(it))| = |e^(2iR·e^(it))|/|R·e^(it)|² = |e^(-2Rsin(t))·e^(2iRcos(t))|/R²
= e^(-2Rsin(t))/R² ≤ 1/R² (0 ≤ t ≤ π,故-2Rsin(t) ≤ 0).
因此|∫{0,π} f(R·e^(it)) d(R·e^(it))| ≤ R·∫{0,π} |f(R·e^(it))| dt ≤ R·∫{0,π} 1/R² dt = π/R.
于是lim{R → +∞} ∫{C2} f(z)dz = 0.
2.1/z²-f(z) = (1-e^z)/z².
e^z在原点幂级数展开为1+z+z²/2+z³/6+...
因此(1-e^z)/z²在原点Laurent展开为-1/z-1/2-z/6-...
考虑函数g(z) = 1/z²-f(z)+1/z,则g(z)在原点的邻域上解析,故有界.
即存在M > 0,使得当r充分小时,对z = r·e^(i(π-t)),有|g(z)| < M.
因此|∫{C2} g(z)dz| ≤ πr·M → 0 (当r → 0+).
于是lim{r → 0+} ∫{C2} (1-e^z)/z² dz = lim{r → 0+} ∫{C2} (1-e^z)/z²-g(z) dz
= -lim{r → 0+} ∫{C2} 1/z dz.
∫{C2} 1/z dz = ∫{0,π} 1/(r·e^(i(π-t))) d(r·e^(i(π-t)))
= -i·∫{0,π} e^(i(π-t))/(e^(i(π-t))) dt
= -πi.
因此lim{r → 0+} ∫{C2} (1-e^z)/z² dz = πi.