已知二次函数f（x）=ax 2 +bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-
b
2a ，∴-
b
2a =1．①
又f（x）=x有等根，即ax ² +（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1） ² =0．②
由①，②得 b=1，a=-
1
2 ．∴f（x）=-
1
2 x ² +x．
（2）∵f（x）=-
1
2 x ² +x=-
1
2 （x-1） ² +
1
2 ≤
1
2 ．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤
1
2 ，∴n≤
1
6 ．
从而m＜n≤
1
6 ＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴

f(m)=-
1
2 m 2 +m=3m
f(n)=-
1
2 n 2 +n=3n ，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．