已知函数f(x)＝ax+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，52)两点．

解题思路：（1）由函数f(x)＝ax+

b

x

（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，

5

2

)两点，列方程能求出函数f（x）的解析式．
（2）设x₂＞x₁≥1，推导出f（x₁）-f（x₂）=(x2−x1)(1−

1

x1x2

)＝

(x2−x1)(x1x2−1)

x1x2

，由此能够证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）要使不等式

4a

3

−2a≥f(x)对任意的x∈[

1

2

，3]恒成立，只需

4a

3

−2a≥fmax(x)，x∈[

1

2

，3]，由此能求出a的取值集合．

（1）∵函数f(x)＝ax+
b
x（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，
5
2)两点，
∴

a+b＝2
2a+
b
2＝
5
2，解得a=1，b=1，
∴f(x)＝x+
1
x．…..（3分）
（2）设x₂＞x₁≥1，则f(x2)−f(x1)＝x2+
1
x2−x1−
1
x1＝x2−x1+
x1−x2
x1x2
=(x2−x1)(1−
1
x1x2)＝
(x2−x1)(x1x2−1)
x1x2，
∵x₂＞x₁≥1，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．…（6分）
（3）要使不等式
4a
3−2a≥f(x)对任意的x∈[
1
2，3]恒成立，
只需
4a
3−2a≥fmax(x)，x∈[
1
2，3]，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
同理可证f（x）在（0，1]上单调递减．
当x∈[
1
2，3]时，f（x）在[
1
2，1]上单调递减，f（x）在[1，3]上单调递增．
又f(
1
2)＝
5
2，f(3)＝
10
3，
∴当x∈[
1
2，3]时，fmax(x)＝f(3)＝
10
3，
∴
4a
3−2a≥
10
3⇒4a−3•2a−10≥0⇒(2a+2)(2a−5)≥0⇒2a≥5⇒a≥log25，
∴a的取值集合是{a|a≥log₂5}．…（10分）

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明，考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和等价转化思想的合理运用．