已知二次函数f（x）=ax2-bx+1（a，b为常数）．

解题思路：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出对称轴方程，由f（x）在区间（-3，4）上不是单调函数，得到-3＜

b

2

＜4，由此解得b的范围；
（Ⅱ）把b=a+2代入函数解析式，得到f（x）=ax²-（a+2）x+1，分f（x）有相异实根，且只有一根在（-2，-1）上；f（x）有两相等实根，且根在（-2，-1）上两种情况求得a的值；
（Ⅲ）配方求得x²-2x的范围，进一步得到g（x）的值域为[[1/2]，+∞）．设f（x）的值域为B，由题意知，B⊆[[1/2]，+∞），转化为f（x）在R上有最小值大于等于[1/2]列不等式组得答案．

（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x²-bx+1的对称轴为x=
b
2，
若f（x）在区间（-3，4）上不是单调函数，
则-3＜
b
2＜4，解得-6＜b＜8．
∴实数b的取值范围是（-6，8）；
（Ⅱ）∵b=a+2，∴f（x）=ax²-（a+2）x+1．
①f（x）有相异实根，且只有一根在（-2，-1）上，
故f（-2）•f（-1）＜0，即（6a+5）（2a+3）＜0，
∴-
3
2＜a＜-
5
6，
又∵a∈Z，∴a=-1．
②f（x）有两相等实根，且根在（-2，-1）上，
∴

△=(a+2)2-4a=0
-2＜
a+2
2a＜-1，此不等式组无解．
综上所述，a=-1；
（Ⅲ）∵x²-2x=（x-1）²-1≥-1，
∴2x2-2x≥
1
2，
∴g（x）的值域为[[1/2]，+∞）．
设f（x）的值域为B，由题意知，B⊆[[1/2]，+∞）．
即f（x）在R上有最小值，且f(x)min≥
1
2，
∴

a＞0

4a-b2
4a≥
1
2，即b²≤2a（a＞0）．
∴实数a，b满足的条件是b²≤2a（a＞0）．

点评：
本题考点： A:函数恒成立问题 B:二次函数的性质 C:函数的零点

考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．