已知函数f（x）=-x3+kx2+5x+1，g（x）=-lnx+kx，其中k∈R．

（Ⅰ）对函数f（x）=-x³+kx²+5x+1求导，得，f′（x）=-3x²+2kx+5，
当k=1时，函数f（x）=）=-x³+x²+5x+1，f′（x）=-3x²+2x+5，
令f′（x）=0，即-3x²+2x+5=0，解得，x=-1或x=[5/3]，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，当x∈（-1，[5/3]）时，f′（x）＜0
当x∈（[5/3]，+∞）时，f′（x）＜0，
∴当x=-1函数f（x）有极小值为f（-1）=-2
当x=[5/3]函数f（x）有极大值为f（[5/3]）=[202/27]
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+kx²+5x+1为（1，2）上的连续函数，
∴f（x）=0在区间（1，2）上有解⇔f（1）×f（2）＜0
由f（1）×f（2）=（-1+k+6）（-8+4k+11）=（k+5）（4k+3）＜0
得-5＜k＜−
3
4
∴实数k的取值范围为-5＜k＜−
3
4
（Ⅲ）
∵f′（x）=-3x²+2kx+5，g′（x）=[kx−1/x]
∵k＞0，两个导函数的图象如图
由图象可知，当且仅当k=5时，函数q（x）上任一点（横坐标不为0），总能找到另外惟一一点使得在这两点处切线的斜率相等，
∴k=5

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题综合考察了导数的应用，特别是函数极值的求法和导数几何意义的应用，解题时要灵活运用数形结合思想、分类讨论思想，提高解题效率