设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且an+1=2Sn+1（n∈N*）．

（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N^*）
所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知a_n=3^n-1，于是cn＝3n−1log93n−1＝
n−1
2•3n−1，于是Tn＝0+
1
2•3+
2
2•32+…+
n−1
2•3n−1，
3Tn＝0•3+
1
2•32+…+
n−2
2•3n−1+
n−1
2•3n，
相减得：−2Tn＝
1
2•3+
1
2•32+…+
1
2•3n−1−
n−1
2•3n＝

3
2(1−3n−1)
1−3−
n−1
2•3n
解得：Tn＝
2n−3
8•3n+
3
8．

点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的求和，重点考查学生的等差数列的通项公式与等比数列的求和公式，着重考查学生的错位相减法求和，属于中档题．