（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y
（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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解题思路：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）关键是求出△ACP面积的表达式，然后利用二次函数求极值的方法，求出△ACP面积的最大值；
（3）如图（3）所示，以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求；
（4）如图（4）所示，若以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，有两种情况，需要分类讨论，不要漏解；
（5）以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，有四种情况，分别如图（5）a、图（5）b所示，注意不要漏解．
（2）关键是求出△ACP面积的表达式，然后利用二次函数求极值的方法，求出△ACP面积的最大值；
（3）如图（3）所示，以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求；
（4）如图（4）所示，若以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，有两种情况，需要分类讨论，不要漏解；
（5）以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，有四种情况，分别如图（5）a、图（5）b所示，注意不要漏解．
（1）由抛物线y=ax2+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），则
0＝9a−3b+2
0＝a+b+2
解这个方程组，得a=-
2
3，b=-
4
3．
∴二次函数的关系解析式为y=-
2
3x2-
4
3x+2．
（2）设点P坐标为（m，n），则n=-
2
3m2-
4
3m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
PM=-
2
3m2-
4
3m+2，PN=-m，AO=3．
当x=0时，y=-
2
3×0-
4
3×0+2=2，所以OC=2
S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO
=
1
2AO•PM+
1
2CO•PN-
1
2AO•CO
=
1
2×3•（-
2
3m2-
4
3m+2）+
1
2×2•（-m）-
1
2×3×2
=-m2-3m
∵a=-1＜0
∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值
当m=-
b
2a=-
3
2时，S△PAC有最大值．
此时n=-
2
3m2-
4
3m+2=-
2
3×(−
3
2)2-
4
3×(−
3
2)+2=
5
2
∴存在点P（-
3
2，
5
2），使△PAC的面积最大．
（3）如图（3）所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．
过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，易证△Q1CD≌△CBO，
∴Q1D=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q1（2，3）；
同理求得Q2（3，1），Q3（-1，-1），Q4（-2，1）．
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（-1，-1），Q4（-2，1）．
（4）如图（4）所示，设E（n，0），则BE=1-n，QE=-
2
3n2-
4
3n+2．
假设以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：
①若△AOC∽△BEQ，则有：
QE
OC＝
BE
OA，
即
−
2
3n2−
4
3
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值、全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等重要知识点，难度较大，对考生能力要求较高．本题核心是存在性问题，第（3）（4）（5）问均涉及点的存在性，注意认真分析，在多种情况时需要分类讨论；另外注意求点坐标的方法，全等三角形与相似三角形在其中发挥重要作用，需要认真体会．
1年前
5
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