〔2x-1〕的六次方=a6x的六次方+a5x 的5次方+a4x的4次方……+a0,且a6、a5、a4、a3、a2、a1、

一、 在二项展开式中的应用
在（a+b)n= an+ an-1b+… abn-1+ bn(n∈N)中,令a,b为一些特殊值,或者在（1+x)n=1+ x+… xn-1+ xn中令x为一些特殊值,可以得到相应的组合恒等式.
ⅰ）令a,b,x为特定的实数值
例1、①在（1+x)9的展开式中,x的奇次方项系数之和等于 .
②（4x-1)6=a6x6+ a5x5+ a4x4+ a3x3+ a2x2+ a1x+a0,则a6 a5+ a4+ a3+ a2+ a1+a0= .
③已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,则a6- a5+ a4- a3+ a2- a1的值等于 .
④（2x-1)5的展开式中,各项系数的绝对值之和等于 .
⑤（x+2y)(2x+y)2(x+y)3的展开式中,各项的系数的和是 .
⑥1+7 +72 +73 +…+7n = .
略①（1+x)9=1+ x+… x9-1+ x9中,
令x=1,可得1+ + … + =29-------（1）
令x=-1,可得1- + … - =0--------（2）,则 可得x的奇次方项系数之和为 + + + + =256.
②令x=1,得各项系数和为36=729；
③令x=-1,得a6- a5+ a4- a3+ a2- a1+a0=36=729,又a0=1,故原式=728；
④在（2x+1)5中令x=1,可得原题中各项系数的绝对值之和等于35=243；
⑤令x=1,得各项系数和为216；
⑥原式=（1+7）n=8n.
ⅱ)令x为虚数,或者令a,b中的一个为实数,一个为虚数.
例2、求证：1- + - + - +…= ;
- + - + - +…=
证明：在（a+b)n= an+ an-1b+… abn-1+ bn(n∈N)中,令a=1,b=i,则:
（1+i)n=1+ i+ i2+ i3+… in-1+ in
=(1- + - + - +…)+( - + - + - +…)i
又(1+i)n=[ ]n
=
由复数相等的充要条件,可得原结论成立.
二、 在抽象函数中的应用
例3、已知函数f(x)满足f(x+2)= ,且当x∈[0,2]时,f(x)=x+1,则
①求f(7)= .
②求x∈[6,8]时的解析式.
分析：由题可知当自变量x加上2后的函数值f(x+2)为x的函数值f(x)的负倒数,不妨令x为x+2,即可求函数的周期.
① f(x+4)= f(x+2+2)= = f(x),∴函数的周期T=4.
f(7)=f(4)=f(1+2)= .
② 设x∈[6,8],则x-4∈[2,4],x-4-2∈[0,2],故f(x)= f(x-4)= = .
说明：利用赋值法求抽象函数的周期的常见形式还有
若f(x+2)= ,则t=8;若f(x+2)=-f(x),则t=4.
例4、设f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),求证：f(0)≠0时,f(x)是偶函数.
分析：函数奇、偶性的判断,根据定义须在关于原点对称的定义域中来判断f(-x)与f(x)或-f(x)的关系.
证法一：
令x=y=0,则f(0)=1
赋x为0,y为x,则有：
f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
证法二：
赋y为x,x为y,则有：
∴f(x-y)=f(y-x)=f(-(x-y)),即f(x)为偶函数.
例5、已知函数f(x)的定义域为R,x1,x2都满足：
f(x1+x2)=f(x1)+fx2）,当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3；
① 判断f(x)的奇偶性和单调性；
② 当 ∈[0, ]时,f(cos -3)+f(4m-2mcos )>0对所有 均成立,求实数m的取值范围.
①令x1=x2=0,则f(0)=0;
赋x1为x,x2为-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),故y=f(x)为奇函数.
设x10,f(x2-x1)>0,即f(x2)>fx1),故y=f(x)为增函数.
②原不等式等价于f(cos -3+4m-2mcos )>f(0),
∵f(x)单调递增,∴cos -3+4m-2mcos >0恒成立,（ ∈[0, ]）
用变量分离法可得：m> ,令g(x)= ,则当cos =1时,g(x)max=1, ∴为使原不等式恒成立,只需m> g(x)max,即m>1.
三、 在恒成立问题中的应用
例6、是否存在实数a,b c,使得函数f(x)=ax2+bx+c对于任意实数a均满足下列条件：
（1）f(sin )≥2;(2)f(2-cos )≤2;(3)f(4) ≥c,若存在,找出一组数a,b c,并画出函数的图象,若不存在,说明理由.
分析：若直接把sin 、2-cos 、4代入原函数化简,方程个数较多,自变量形式复杂,给解题带来一定难度,注意到题目中条件对一切实数 均能使等式恒成立,故不妨令 为特殊值为突破口.
在（1）中令sin =1,则有f(1)≥2,在（2）中令cos =1,则有f(1)≤2,
∴f(1)=2,即a+b+c=2；
由f(4) ≥c,得4a+b≥0,
在（2）中令cos =-1,可得f(3) ≤-2,化简即得4a+b≤0,可得4a=-b,则可求得c=3a+2;
∴f(x)=ax2-4ax+3a+2
=a(x-2)2+2-a----------------(*)
在（2）中令cos =0,有f(2)=2-a≤2, ∴a≥0,则（*）式表示开口向上,对称轴为x=2的抛物线,取a=1,此时b –4,c=5,所得抛物线符合题意.
四、 在选择题及填空中的特殊应用
选择题、填空题因其题目的特殊性,在有些问题中不要求有严密的推理证明,而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可,故其应用相当普遍.
例7、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称,那么a= （ ）
A、1 B、-1 C D - .
略取x=0及x= ,则f(0)=f( ),即a=-1.
例8、当a∈R时,关于x,y 的方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形,则它们的公共对称轴方程是 （ ）
A x+2y+1=0 B 4x+2y+1=0 C 4x-2y+1=0 D 2x-4y+1=0
略既然上述对称轴对一切a∈R都成立,不妨令a=0,则方程变为：x2+y2+x+y=0,即（x+ )2+(y+ )2= ,此曲线为圆,圆心坐标为（ , ）,只适合于C,故答案为C.
例9、△ABC中,角A,B,C依次成等差数列,则a+c与2b的大小是 （ ）
A a+c2b C a+c≥2b D a+c≤2b
略题中没有给定三角形的形状,不妨令A=B=C=600,则可排除A、B,再取角A,B,C分别为300,600,900,可排除C,故答案为D.
例10、定义在实数集上的函数f(x)=(x+a)3, 满足f(x+1)=-f(1-x),则f(2)+f(-3)= .
略∵f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立,当然可以把x+1和1-x分别代入函数关系式得：(x+1+a)3=(1-x+a)3,化简后得到a的值.然而既然f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立,不妨令x=0,可得f(1)=0,代入原函数关系可得a=-1,即f(x)=(x-1)3,故f(2)+f(-3)=-63.