已知椭圆的C两个焦点分别为F1（0,-1）,F2（0,1）,离心率e= 1 2 ,P是椭圆C在第一象限内的一点

由给定的椭圆焦点坐标可知：c＝1,e＝c/a＝1/2,∴a＝2,∴b＝√（a^2－c^2）＝√3,
∴椭圆的方程是：x^2/3＋y^2/4＝1.
∴可设点P的坐标为（√3cosα,2sinα）.　∵P在第一象限,∴sinα＞0,cosα＞0.
依题意,有：｜PF1｜－｜PF2｜＝1,
∴√［（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2］－√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1,
∴1＋√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝√［（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2］.
两边平方,得：
1＋2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＋（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2
＝（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2,
∴2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝（2sinα＋1）^2－（2sinα－1）^2－1,
∴2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1－8sinα.
两边再平方,得：
4［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1－16sinα＋64（sinα）^2,
∴4［3（cosα）^2＋4（sinα）^2－4sinα＋1］＝1－16sinα＋64（sinα）^2,
∴4［4＋（sinα）^2－4sinα］＝1－16sinα＋64（sinα）^2,
∴16＋4（sinα）^2－16sinα＝1－16sinα＋64（sinα）^2,
∴60（sinα）^2＝15,　∴（sinα）^2＝1/4,　∴sinα＝1/2,　∴cosα＝√3/2,
∴√3cosα＝3/2,　2sinα＝1,　∴点P的坐标是（3/2,1）.
第二个问题：
由F2（0,1）、P（3/2,1）可知：PF2∥x轴.
∵F2在以PQ为直径的圆上,　∴PF2⊥QF2,　∴Q在y轴上.
令x^2/3＋y^2/4＝1中的x＝0,得：y＝±2,　∴点Q的坐标是（0,2）或（0,－2）.
一、当Q的坐标为（0,2）时,
　　由中点坐标公式,得：G的坐标为（3/4,3/2）.
又｜GQ｜^2＝（3/4－0）^2＋（3/2－2）^2＝9/16＋4/16＝13/16.
　　∴此时⊙G的方程是：（x－3/4）^2＋（y－3/2）^2＝13/16.
二、当Q的坐标为（0,－2）时,
　　由中点坐标公式,得：G的坐标为（3/4,－1/2）.
　　又｜GQ｜^2＝（3/4－0）^2＋（－1/2－2）^2＝9/16＋100/16＝109/16.
　　∴此时⊙G的方程是：（x－3/4）^2＋（y＋1/2）^2＝109/16.
即：满足条件的⊙G的方程是：
（x－3/4）^2＋（y－3/2）^2＝13/16；　或（x－3/4）^2＋（y＋1/2）^2＝109/16.