设A为3阶方阵,b1,b2,b3为三元非零向量,Ab1=b1,Ab2=-b2,Ab3=b1+b3,证明b1,b2,b3线
设A为3阶方阵,b1,b2,b3为三元非零向量,Ab1=b1,Ab2=-b2,Ab3=b1+b3,证明b1,b2,b3线性无关
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证明:设 k1b1+k2b2+k3b3=0 (1)
则 k1Ab1+k2Ab2+k3Ab3=0
由已知得 k1b1-k2b2+k3(b1+b3)=0
即有 (k1+k3)b1-k2b2+k3b3=0 (2)
(2)-(1):k3b1-2k2b2 = 0
因为 b1,b2为A的分别属于特征值 1和-1的特征向量,
故 b1,b2 线性无关
所以 k3=k2=0
代入 (1) 知 k1 = 0
故 b1,b2,b3线性无关.
则 k1Ab1+k2Ab2+k3Ab3=0
由已知得 k1b1-k2b2+k3(b1+b3)=0
即有 (k1+k3)b1-k2b2+k3b3=0 (2)
(2)-(1):k3b1-2k2b2 = 0
因为 b1,b2为A的分别属于特征值 1和-1的特征向量,
故 b1,b2 线性无关
所以 k3=k2=0
代入 (1) 知 k1 = 0
故 b1,b2,b3线性无关.
1年前
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1年前2个回答
你能帮帮他们吗