设抛物线（标准方程）的焦点弦与其交与A B两点,则角OAB是否可为直角,若可求出A B坐标,不可则给出证明
设抛物线（标准方程）的焦点弦与其交与A B两点,则角OAB是否可为直角,若可求出A B坐标,不可则给出证明
可设抛物线方程为x^2=2py ,用p表示A B坐标,注意是角OAB不是角AOB
可设抛物线方程为x^2=2py ,用p表示A B坐标,注意是角OAB不是角AOB
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不存在.理由如下
过焦点(0,p/2) 的直线y=kx+p/2代入抛物线整理得
x²-2pkx-p²=0
因为△>=0∴一定有解.
不妨设A(x1,y1) B(x2,y2)
则x1+x2=2pk x1x2=-p²,y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk²+p y1y2=k²x1x2+kp/2(x1+x2)+p²/4=p²/4
假设存在.则OA²+OB²=AB²
即x1²+y1²+x2²+y2²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
2x1x2+2y1y2=0
-p²+p²/4=0
p=0与已知矛盾
∴不存在
过焦点(0,p/2) 的直线y=kx+p/2代入抛物线整理得
x²-2pkx-p²=0
因为△>=0∴一定有解.
不妨设A(x1,y1) B(x2,y2)
则x1+x2=2pk x1x2=-p²,y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk²+p y1y2=k²x1x2+kp/2(x1+x2)+p²/4=p²/4
假设存在.则OA²+OB²=AB²
即x1²+y1²+x2²+y2²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
2x1x2+2y1y2=0
-p²+p²/4=0
p=0与已知矛盾
∴不存在
1年前 追问
6
是角OAB，不是角AOB
解:不存在.理由如下 过焦点(0,p/2) 的直线y=kx+p/2代入抛物线整理得 x²-2pkx-p²=0 因为△>=0∴一定有解. 不妨设A(x1,y1) B(x2,y2) 则x1+x2=2pk x1x2=-p², y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk²+p y1y2=k²x1x2+kp/2(x1+x2)+p²/4=p²/4 假设存在.则-OA²+OB²=AB² 即-x1²-y1²+x2²+y2²=(x1-x2)²+(y1-y2)² x1²+y1²-x1x2+y1y2=0 好烦
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