已知点F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△AB
已知点F1、F2分别是双曲线
−
＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. （1，+∞）
B. (1，
)
C. （1，2）
D. (1，1+
)
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A. （1，+∞）
B. (1，
| 3 |
C. （1，2）
D. (1，1+
| 2 |
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解题思路：由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可，由此可知
＜2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．
| b2 |
| a |
根据题意，易得AB=2
b2
a，F1F2=2c，
由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，
只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；
所以有
b2
a＜2c，
即2ac＞c2-a2，
解出e∈(1，1+
2)，
故选D．
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；双曲线的应用．
考点点评： 本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．
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