设n阶方阵A满足A^2-A+E=0,证明A为可逆矩阵,并求A^-1的表达式?

设n阶方阵A满足A^2-A+E=0,证明A为可逆矩阵,并求A^-1的表达式?
为什么A(E-A)=E,则A就可逆
syair 1年前 已收到2个回答 举报
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夜心人静1 幼苗

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证明:因为 A^2-A+E=0
所以 A(E-A) = E
所以A可逆,且 A^-1 = E-A
补充:
这是个定理,教材中应该有的:
若AB=E,则 A,B可逆,且A^-1 = B,B^-1 = A
证明很简单.
因为 AB=E
两边求行列式 |A||B| = |E| = 1
所以 |A|≠0,|B|≠0
所以 A,B 可逆
所以 A^-1(AB) = A^-1
即 B = A^-1.

1年前

2

雪域城 幼苗

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AA-A+E=0----
AA-AE+E=0
A(E-A)=E
AA-A+E=0
AA-EA+E=0
(E-A)A=E
A(E-A)=(E-A)A=E
所以可逆
AB=BA=E
是A可逆的定义

1年前

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