已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：

对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：TA⊥平面TBC，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB，故①正确；
②设TA=a；TB=b；TC=c，则AB ² =a ² +b ² ，同理BC ² =c ² +b ² ，Ac ² =a ² +c ² ，在三角形ABC中，由余弦定理得： cosA=
AB 2 +AC 2 -BC 2
2AB×AC =
a 2 +b 2 +a 2 +c 2 -c 2 -b 2
2
a 2 +b 2
a 2 +c 2 =
a 2

a 2 +b 2
a 2 +c 2 ＞0 ，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是锐角三角形．
③设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=
bc

b 2 + c 2 ，
在三角形ABC中，有：AE=

a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2

b 2 + c 2
由于AE×TD=TA×TE
∴

a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2

b 2 + c 2 ×TD=a×
bc

b 2 + c 2 ，
∴a ² b ² c ² =（a ² b ² +b ² c ² +c ² a ² ）TD ²
∴
1
T D 2 =
1
T A 2 +
1
T B 2 +
1
T C 2 ；成立
故③对
④：S _△BCA ² =S _△TBC ² +S _△ACT ² +S _△TAB ² ．证明如下：
如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．
S _△BCA ² =
1
4 BC 2 •AE ² =
1
4 BC 2 •（AT ² +TE ² ）=
1
4 （TB ² +TC ² ）（AT ² +TE ² ）
=
1
4 （TB ² TC ² +TA ² TC ² +TA ² TB ² ）=S _△TBC ² +S _△ACT ² +S _△TAB ² ，
故不对；
故答案为：①②③．

1年前