一道自主招生的解析几何数学题 F为抛物线y^2=2px的焦点,过F的直线l与该抛物线交与A,B两点,l1,l2分别是该抛

可以用切线方程：y^2=2px在（X1,Y1）处的切线方程是y*y1=p*(x+x1),如果不明白,可以类比x^2=2py求导（或者说是y^2=2px对x求导）,设A(x1,y1),B(x2,y2)化简一下.得到两条直线
y*y1=p*(x+x1);y*y2=p*(x+x2)
斜率之积为 y1*y2/p^2,课本上有个结论,过焦点的直线与抛物线y^2=2px交点纵坐标之积 y1*y2= - p^2,于是两直线垂直,C在以AB为直径的圆上.下面可以猜想答案是根号a*b.
再计算,容易发现C的坐标（-p/2,1/2(y1+y2)）,
由上面设的,AB斜率为 y1-y2/x1-x2=2p/y1+y2 可得到CF的斜率与AB的斜率之积为-1.
再用射影定理,在直角三角形ABC中,CF垂直于AB,CF就是根号a*b了.
还有一种偏计算的方法,用两点距离公式,|CF|＝根号（p^2+1/4(y1+y2)^2）,把y^2=2px带入,联合焦半径公式a=x1+p/2,b=x2+p/2,同样可得到|CF|＝根号a＊b.

定理：由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。
显然，F到l1的距离d1=√(ap/2)，F到l2的距离d2=√(bp/2)。
从而，CF就是该矩形的对角线长，为√p(a+b)/2。