y=(8sinθ+cosθ+1)/(2sinθ-cosθ+3)的最大值

y=(8sinθ+cosθ+1)/(2sinθ-cosθ+3),2ysinθ-ycosθ+3y=8sinθ+cosθ+1,(2y-8)sinθ-(y+1)cosθ=1-3y,所以,|1-3y|<=√[(2y-8)^2+(y+1)^2],（此式利用 asinθ+bcosθ最大值为√(a^2+b^2)）两端平方得 9y^2-6y+1<=4y^2-32y+64+y^2+2y+1,即 4y^2+24y-64<=0,两端同除以4得 y^2+6y-16<=0,所以,(y-2)(y+8)<=0,解得 -8<=y<=2,即 y 最小值为-8,最大值为2.

个人意见：当θ=45度时最大，具体的自己算算看，不会我在给你详细过程，要的是分子最大化

利用万能公式，并且令tan（θ/2）=t.
则原式可化简为y=(8t+1)/(2t^2+2t+1)=1/[(8t+1)/32+3/16+25/(32(8t+1))]
∴1/y=(8t+1)/32+25/(32(8t+1))+3/16
≥5/16+3/16=1/2
∴y≤2