已知f（x）=-2asin（2x+[π/6]）+2a+b，

解题思路：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为[2π/ω ]，求得结果．
（2）由条件根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值以及取得最大值时的x的集合．
（3）由x∈[[π/4]，[3π/4]]，可得sin（ 2x+[π/6]）∈[-1，

3

2

]．分①当a＞0时、②当a＜0时两种情况分别求得a、b的值，从而得出结论．

（1）∵f（x）=-2asin（2x+[π/6]）+2a+b，∴T=π．
（2）∵a＞0，∴f（x）_max=-2a×（-1）+2a+b=4a+b．
由2x+
π
6＝2kπ−
π
2，k∈Z，解得x＝kπ−
π
3，k∈Z，
∴取得最大值时的x的集合为：{x|x＝kπ−
π
3，k∈Z}．
（3）存在a=-1，b=1，满足条件．
∵x∈[[π/4]，[3π/4]]，∴2x+[π/6]∈[[2π/3]，[5π/3]]，
∴sin（ 2x+[π/6]）∈[-1，

3
2]．
若存在这样的有理数a、b，则
①当a＞0时，

−
3a+2a+b＝−3
2a+2a+b＝
3−1，这不可能；
②当a＜0时，

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值、定义域和值域，属于中档题．