如图,已知抛物线C 1 :x 2 +by=b 2 经过椭圆C 2 : + =1(a>b>0)的两个焦点.

（1） （2）x ² +y=1 +y ² =1


解:(1)因为抛物线C ₁ 经过椭圆C ₂ 的两个焦点F ₁ (-c,0),F ₂ (c,0),
所以c ² +b×0=b ² ,
即c ² =b ² .
又a ² =b ² +c ² =2c ² ,
所以椭圆C ₂ 的离心率e= .
(2)由(1)可知a ² =2b ² ,
椭圆C ₂ 的方程为 + =1.
联立抛物线C ₁ 的方程x ² +by=b ² ,
得2y ² -by-b ² =0,
解得y=- 或y=b(舍去),
所以x=± b,
即M（ b,- ）,N（ b,- ）,
所以△QMN的重心坐标为(1,0).
因为重心在C ₁ 上,
所以1 ² +b×0=b ² ,得b=1.
所以a ² =2.
所以抛物线C ₁ 的方程为x ² +y=1,
椭圆C ₂ 的方程为 +y ² =1.