高中立体几何题正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N和M1,N1分别为中点,连接AN1,M1C1,交于点E,连接AN

由正方体条件可知AA1、MM1、NN1、CC1平行且相等,则ANN1A1、CMM1C1均为平行四边形,
以D为原点DA、DC、DD1为三轴正方向建立坐标系,由于E和E1分别是三角形ABC和A1B1C1的重心,由重心坐标公式可知E(2/3,2/3,1),E1(2/3,2/3,0),则EE1垂直于底面,即MM1//EE1
由EE1垂直于底面可知EE1与AN、CM垂直,则二面角的平面角为∠ME1N,
由坐标可知E1M²=E1N²=(1-2/3)²+(2/3-1/2)²=5/36,MN=√2/2
由余弦定理得cos∠ME1N=(E1M²+E1N²-MN²)/(2E1M*E1N)=-4/5
棱柱体积=h*S(ADCE1)=1*2S△ADE1=2/3