（2010•成都一模）在数列{an}中，a1=1，an+1=an2+4an+2，n∈N*．

证明：（I）由a1＝1，an+1＝an2+4an+2
得an+1+2＝(an+2)2
∴log₃（a_n+1+2）=2（log₃a_n+2）（3分）
∵b_n=log₃（a_n+2），
∴b₁=1，b_n+1=2b_n（5分）
（II）由（I）可得bn＝2n−1
即log3(an+2)＝2n−1
∴an＝32n−1−2（8分）
（III）∵a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1-2=a_n²+4a_n
∵cn＝
4
an−2−
1
an+
1
an+4=
4
an−2−(
1
an−
1
4+an)
=
4
an−2−
4
an(an+4)=
4
an−2−
4
an+1−2（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=
4
a1−2−
4
a2−1+…+
4
an−2−
4
an+1−2（10分）
=
4
a1−2−
4
an+1−2=−4−
4
3

点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意构造等比数列求解通项公式，利用裂项求和，属于数列知识的综合应用．