（2010•成都一模）在数列{an}中，a1=-13，n∈N*，当n≥2时，有3an-2an-1+n+2=0，设bn=a

解题思路：（I）由b_n=a_n+n+1及3a_n-2a_n-1+n+2=0把n=1，2分别代入可求
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1），

an+n

an-1+n-1

=

2

3

，即

bn-1

bn-1-1

=

2

3

，从而可证
（III）由（I）可得bn=

2

3

bn-1+

1

3

从而可求bn=1+(

2

3

)n，则cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

=

bn-bn+1

bnbn+1

=

1

bn+1

-

1

bn

，从而可利用裂项求和．

（I）∵a1=-
1
3，b_n=a_n+n+1∴b1=a1+2=
5
3
当n=2时，3a₂-2a₁+4=0可得a2=-
14
9
∴b2=3+a2=
13
9
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）

an+n
an-1+n-1=
2
3，n≥2即
bn-1
bn-1-1=
2
3
∵b1- 1=
2
3≠0
∴{bn-1}是以
2
3为首项，
2
3为公比的等比数列
（III）由（I）可得bn=
2
3bn-1+
1
3
∴2b_n-1+1=3b_n，所以bn=1+(
2
3)n
cn=
(
2
3)n
2
b2n+bn=
(
2
3)n
(2bn+1)bn=
bn-bn+1
bnbn+1=
1
bn+1-
1
bn

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，而定义法是证明数列为等比（等差）数列的常见方法，裂项求和是数列求和的重要方法，要注意掌握．