已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素
| 已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m，则称S具有性质P。 （1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性质P？并说明理由； （2）当n=1000时， ① 若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由； ②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值。 |
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（1）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}， B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P。
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b 1 =10与b 2 =10+ m，使得|b 1 -b 2 |=m成立
集合C={x∈A│x=3k-1，k∈N*）具有性质P
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c 1 =3k 1 -1，c 2 =3k 2 -1，k 1 ，k 2 ∈N*
都有|c 1 -c 2 |=3|k 1 -k 2 |≠1。
（2）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈s}一定具有性质P
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x 0 ∈T，其中x 0 ∈S，
因为S
A，所以x 0 ∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x 0 ≤2000，即t∈A，
所以T
A
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S）中任取一对元素t 1 =2001-x 1 ，t 2 =2001-x 2 ，其中x 1 ，x 2 ∈S，
则有|t 1 -t 2 |=|x 1 -x 2 |≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P。
②设集合S有k个元素，由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S）一定具有性质P
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设s中有t（t≥
）个元素b 1 ，b 2 ，…，b t 不超过1000
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m，
所以一定有b 1 +m，b 2 +m，…，b t +m
S
又b i +m≤1000+1000=2000，
故b 1 +m，b 2 +m，…，b t +m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+
≤k+t≤2000，
所以k+
≤2000，得k≤1333，
当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y 1 ，y 2 ，
都有|y 1 -y 2 |≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素，
因此集合S元素个数的最大值是1333。
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b 1 =10与b 2 =10+ m，使得|b 1 -b 2 |=m成立
集合C={x∈A│x=3k-1，k∈N*）具有性质P
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c 1 =3k 1 -1，c 2 =3k 2 -1，k 1 ，k 2 ∈N*
都有|c 1 -c 2 |=3|k 1 -k 2 |≠1。
（2）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈s}一定具有性质P
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x 0 ∈T，其中x 0 ∈S，
因为S
A，所以x 0 ∈{1，2，3，…，2000}， 从而1≤2001-x 0 ≤2000，即t∈A，
所以T
A由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S）中任取一对元素t 1 =2001-x 1 ，t 2 =2001-x 2 ，其中x 1 ，x 2 ∈S，
则有|t 1 -t 2 |=|x 1 -x 2 |≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P。
②设集合S有k个元素，由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S）一定具有性质P
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设s中有t（t≥
）个元素b 1 ，b 2 ，…，b t 不超过1000由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m，
所以一定有b 1 +m，b 2 +m，…，b t +m
S又b i +m≤1000+1000=2000，
故b 1 +m，b 2 +m，…，b t +m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+
≤k+t≤2000， 所以k+
≤2000，得k≤1333， 当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y 1 ，y 2 ，
都有|y 1 -y 2 |≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素，
因此集合S元素个数的最大值是1333。
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