Hmilia
幼苗
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(1)当n=10时,集合A={1,2,3,…,19,20},B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P。
因为对任意不大于10的正整数m,都可以找到集合B中两个元素b
1 =10与b
2 =10+m,使得|b
1 -b
2 |=m成立。 集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*)具有性质P。
因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c
1 =3k
1 -1,c
2 =3k
2 -1,k
1 ,k
2 ∈N*都有|c
1 -c
2 |=3|k
1 -k
2 |≠1。
(2)若集合S具有性质P,那么集合T={(2n+1)- x|x∈S)一定具有性质P。
首先因为T={(2n+1)-x|x∈S},
任取t=(2n+1)-x
0 ∈T,其中x
0 ∈S,
因为S
A,所以x
0 ∈{1,2,3,…,2n},
从而1≤(2n+1)-x
0 ≤2n,即t∈A,
所以T
A由S具有性质P,可知存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s
1 ,s
2 ,都有|s
1 -s
2 |≠m,
对上述取定的不大于n的正整数m,从集合T={(2n+1)-x|x∈S}中任取元素t
1 = 2n+1-x
1 ,t
2 =2n+1-x
2 ,
其中x
1 ,x
2 ∈S,都有|t
1 -t
2 |=|x
1 -x
2 |;
因为x
1 ,x
2 ∈S,所以有|x
1 -x
2 |≠m,即
|t
1 -t
2 |≠m,
所以集合T={(2n+1)-x|x∈S}具有性质P。
1年前
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