已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y-4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，
已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y-4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，
（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；
（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．
（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；
（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．
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解题思路：（Ⅰ）设出M和B的坐标，由中点坐标公式把B的坐标用m的坐标表示，代入圆C1的方程得答案；
（Ⅱ）求出圆C1的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案．
（Ⅱ）求出圆C1的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案．
（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），
则由题意可得：
x＝
x′+4
2
y＝
y′
2，解得：
x′＝2x−4
y′＝2y，
∵点B在圆C1：x2+（y-4）2=16上，
∴（x′）2+（y′-4）2=16，
∴（2x-4）2+（2y-4）2=16，即（x-2）2+（y-2）2=4．
∴轨迹C2方程为（x-2）2+（y-2）2=4；
（Ⅱ）由方程组
(x−2)2+(y−2)2＝4
x2+(y−4)2＝16，解得直线CD的方程为x-y-1=0，
圆C1 的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为d＝
|−4−1|
2＝
5
2
2，
圆C1 的半径为4，
∴线段CD的长为|CD|＝2
42−(
5
2
2)2＝
14．
点评：
本题考点： 轨迹方程．
考点点评： 本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
1年前
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