如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax 2 +c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），

（1）由拋物线y=ax ² +c经过点E（0，16）、F（16，0）得： ，解得a=- ，c=16，
∴y=- x ² +16；
（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG= OF= ×16=8，即P点的横坐标为8，
∵P点在拋物线上，
∴y=- ×8 ² +16=12，即P点的纵坐标为12，
∴P（8，12），
∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，
∴Q点的纵坐标为-4，
∵Q点在拋物线上，
∴-4=- x ² +16，
∴x ₁ = ，x ₂ =- ，
∵m>0，
∴x ₂ =- （舍去），
∴x= ，
∴Q（ ，-4）；
② -16③不存在；
理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，
∵P点在抛物线上，∴7= ，
∴x ₁ =12，x ₂ =-12，
∵m>0，∴x ₂ =-12（舍去），
∴x=12，
∴P点坐标为（12，7），
∵P为AB中点，
∴AP= AB=8，
∴点A的坐标是（4，7），
∴m=4，
又∵正方形ABCD边长是16，
∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，-9），
∴点Q的纵坐标为-9，
∵Q点在拋物线上，
∴-9=- x ² +16，
∴x ₁ =20，x ₂ =-20，
∵m>0，
∴x ₂ =-20（舍去），x=20，
∴Q点坐标（20，-9），
∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，
∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。