高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有

高数证明题-涉及可导性与连续性
已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).

534504685 1年前已收到3个回答举报

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F(x)在x=0处可导,那么lim(x→0)(F(x)-F(0))/(x-0)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)
那么定义G(x)= F(x)/x x不等于0
F‘(0) x=0
那么G(x)有定义
且lim(x→0)G(x)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)=G(0)
所以G(x)在x=0处连续,满足题意

1年前

xwsb 幼苗

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只需要证明下面的G(x)在0处连续
x!=0时，G(x)=F(x)/x,
x=0时，G(x)=F'(0)
证明如下：
Lim(x->0)G(x)=LimF(x)/x
根据罗比达法则有，LimF(x)/x=LimF'(x)/1=F‘(0)
所以Lim(x->0)G(x)=F‘(0) ，也就是G(x)在0点的极限等于自身的函数值，所以G(x)在0处连续。

1年前

yunji521 花朵

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定义：G(x)=F(x)/x，x≠0，G(0)=F'(0)
因为：lim（G(x))=lim F(x)/x=lim(F(x))-F(0))/(x-0)=F'(0)=G(0)
所以G在0处连续，且F(x)=xG(x)

1年前

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