（2014•深圳二模）设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上单调递减，在

（1）∵f′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），--------------1分
∴当m≤0时，x∈（0，1）有f′（x）＜0，故f（x）在[0，1]上单调递减，x∈（1，2）有f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）=[1/3]x³-[m+1/2]x²+mx在区间[0，2]上的单谷函数；-------------------------2分
当0＜m≤1时，x∈（0，m）有f′（x）＞0，f（x）在[0，m]上单调递增，∴f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；
当m＞1时，x∈（0，1）有f′（x）＞0，故f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）不是区间[0，2]上单谷函数；-----------------------------------------3分
综上所述，当m≤0时，f（x）是区间[0，2]上的单谷函数；
m＞0时，f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；-----------------------------4分
（2）①证明：记g_n（x）=
f′n(x)=xn+…+x2+x+3•(
2
3)n−2，
∴
g′n(x)=nx^n-1+…+2x+1，---------------------------------5分
当x∈（0，[2/3]）时，
g′n(x)＞0，∴函数
f′n(x)在区间[0，[2/3]]上单调递增，--------------------6分
又∵
f′n(0)=3(
2
3)n-2，且n≥2时，(
2
3)n≤[4/9]，∴
f′n(0)＜0，
f′n(
2
3)=[2/3]+…+(
2
3)n+3(
2
3)n-2=

2
3(1−(
2
3)n)
1−
2
3

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，
同时也考查分类讨论数学，函数与方程数学划归与转化思想．