已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+x2^2-4x1x2-4x2x3

由已知,f 的特征值为 1,4,-2
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为:(1,2,2),单位化得 a1 = (1/3,2/3,2/3)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为:(2,-2,1),单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为:(2,1,-2),单位化得 a3 = (2/3,1/3,-2/3)'
则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵
作正交线性变换 X = PY
则二次型 f = -2y1^2+4y2^2+y3^2

先弄成二次型的矩阵
特征值已经给你了 就是标准型前面的系数 求出对应特征值的基础解系a1 a2 a3 ， 单位化
因为没有重根 就不用正交化了 直接拿单位化后的a1 a2 a3 组成一个正交阵P即可 这是很简单的了。。如果有重根还要施密特正交化
具体参照着例题步骤做就行了。...