已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．

（1）f′（x）=
a(1−x)
x（x＞0），
当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
则f′（2）=1，即a=-2；
∴g（x）=[1/2]x²+nx+m（2-[2/x]），
∴g（x）=x+n+[2m
x2=
x3+nx2+2m
x2
∵g（x）在x=1处有极值，
故g′（1）=0，
从而可得n=-1-2m，
则g′（x）=
x3+nx2+2m
x2=
(x−1)(x2−2mx−2m)
x2
又∵g（x）仅在x=1处有极值，
∴x²-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
当m＞0时，由-2m＜0，
即∃x₀∈（0，+∞），
使得x02-2mx₀-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）时，x²-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0；
（3）由f′（x）=
a(1−x)/x]（x＞0）得（0，1）与（1，+∞）分别为f（x）的两个不同的单调区间，
∵f（x）在两点处的切线相互垂直，
∴这两个切点一定分别在两个不同单调区间内．
故可设存在的两点分别为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），
其中[1/3]＜x₁＜1＜x₂＜3，
由该两点处的切线相互垂直，
得
a(1−x1)
x1-
a(1−x2)
x2=-1，
即：
1−x1
x1=-[1
a2-
x2
1−x2

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，解不等式，求参数的范围，是一道综合题．

1年前

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