已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）

解题思路：（Ι）求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值，可得函数g′（x）在区间（t，3）上总存在零点，进而可得g′（t）＜0，g′（3）＞0，由此可得结论．

（Ι）由f′(x)＝
a(1−x)
x]（x＞0）知：
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；…（2分）
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；…（4分）
当a=0时，函数f（x）=-3是常数函数，无单调区间．…（6分）
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=-2lnx-ax-3，f′(x)＝2−
2
x．
故g(x)＝x3+(2+
m
2)x2−2x，…（7分）
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函数g（x）=x³+x²[[m/2+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值
∴函数g′（x）在区间（t，3）上总存在零点
∵函数g′（x）是开口向上的二次函数，且g′（0）=-2＜0
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0
由g′（t）＜0，可得m＜
2
t−3t−4，令H（t）=
2
t−3t−4，则H′（t）=-
2
t2−3＜0
∴H（t）在[1，2]上单调递减，∴H（t）≥H（2）=-9，∴m＜-9
由g′（3）＞0，可得27+（4+m）×3-2＞0，∴m＞−
37
3]
∴−
37
3＜m＜−9时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[
m
2+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求导是关键．