对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：

对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数①正确；
对于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函数f（x）的最小正周期是2π，②不正确；
对于③，由于f（[π/2]）+f（[3π/2]）=[π/2]-[3π/2]=-π≠0故点（π，0）不是函数f（x）的图象的一个对称中心，故③不正确；
对于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间[0，
π
2]上f'（x）＞0，在区间[-
π
2，0]上f'（x）＜0，由此知函数f（x）在区间[0，
π
2]上单调递增，在区间[-
π
2，0]上单调递减，故④正确．
故答案为：①④

点评：
本题考点： A:函数单调性的判断与证明 B:函数奇偶性的判断

考点点评： 本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．