对函数f（x）=x•sinx，现有下列命题：

对于①，因为f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），f（x）是偶函数，故①正确；
对于②，因为f（[π/2]）=[π/2]，f（[5π/2]）=[5π/2]，而f（[π/2]）≠f（[5π/2]），所以函数的周期不是2π，故②不正确；
对于③，设f（x+π）=（x+π）sin（x+π）=g（x），则g（x）=-（x+π）sinx，g（-x）=（-x+π）sinx，不满足g（-x）=-g（x），
所以g（x）不是奇函数．因为g（x）图象不关于原点对称，所以f（x）的图象不可能关于（π，0）对称，故③不正确；
对于④，因为f'（x）=sinx+xcosx，当x∈[0，
π
2]时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间[0，
π
2]上单调递增，
再结合函数为R上的偶函数，可得在区间[−
π
2，0]上单调递减，故④正确．
综上所述，正确的命题是①④
故选A

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题给出一个特殊的函数，要我们研究该函数的单调性、奇偶性和图象的对称性，着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性等知识点，属于基础题．