（2009•江宁区二模）如图，已知二次函数y=ax2+c图象的顶点为点M（0，-9），且经过点A（3，0）．

（1）由题意得

c＝−9
9a+c＝0（1分）
解之，得

a＝1
c＝−9（2分）
故二次函数的关系式为y=x²-9（3分）

（2）①D（x，y）在二次函数的图象上，且位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示点D到AC的距离．
∵AC是平行四边形ABCD的对角线，
∴S＝2S△ACD＝2×
1
2×AC•|y|＝−8y＝−8x2+72．（5分）
当y=0时，x²-9=0，得x=±3
所以二次函数的图象与x轴的另一个交点是（-3，0），
所以，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．（6分）
②如图：当点B在此二次函数图象的对称轴上时，
过点D作DE⊥AC，垂足为点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DCE=∠BAO，∠CED=∠AOB=90°，
∴△ABO≌△CDE
∵点B在二次函数的图象的对称轴上OA=3，
∴CE=OA=3，
所以OE=2，所以当x=-2时，y=-5，S=40；（8分）
③根据题意，当S=64时，即-8x²+72=64．
解之，得x₁=1，x₂=-1．
故所求的点D有两个，分别为D₁（1，-8）（舍去），D₂（-1，-8）．（9分）
所以平行四边形ABCD不是菱形（或者说明点D不在第三象限）；
点D₂（-1，-8）满足DC=DA，
所以平行四边形ABCD是菱形．（10分）
④当AC⊥BD，且AC=BD时，
平行四边形ABCD是正方形，此时点D的坐标只能是（-1，-4）．（11分）
而坐标为（-1，-4）的点不在二次函数的图象上，
故不存在这样的点D，使平行四边形ABCD为正方形．（12分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和平行四边形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．