（2010•湖南）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．

解题思路：（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）²作差整理成关于b和c的表达式即可．
（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．

（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥
b2
4+1．
于是c≥1，且c≥2

b2
4×1＝|b|，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）²．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥
f(c)−f(b)
c2−b2=
c2−b2+bc− b2
c2−b2=[c+2b/b+c]，
令t=[b/c]则-1＜t＜1，[c+2b/b+c]=2-[1/t+1]，
而函数g（t）=2-[1/t+1]（-1＜t＜1）的值域（-∞，[3/2]）
因此，当c＞|b|时M的取值集合为[[3/2]，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
从而f(c)−f(b)≤
3
2(c2−b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为[3/2]

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质．

考点点评： 本题是对二次函数的恒成立问题和导函数的求法的综合考查．二次函数的恒成立问题一般分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．