X1=a>0,Y1=b>0,Xn+1=(Xn+Yn)/2,Yn+1=(Xn*Yn)^1/2,求证数列Xn,Yn的极限相等

首先证极限的存在性
根据不等式性质,X(n+1)≥Y(n+1) (对于任意n≥1）,所以
X(n+2)=(X(n+1)+Y(n+1))/2≤X(n+1), Y(n+2)=(X(n+1)*Y(n+1))^1/2≥Y(n+1).
所以任意n>2 Y2≤Y3≤...≤Y(n-1)≤Yn≤Xn≤Xn-1≤...≤X3≤X2
所以Xn单调下降有下界,Yn单调上升有上限,所以Xn,Yn都有极限
然后如ls所说,设极限分别是A,B,对Xn+1=(Xn+Yn)/2两边求极限得A=(A+B)/2, 所以A=B

第一个条件就可以了
设limxn=A,limyn=B,则 limXn+1=A （同一个数列极限是相同的） (n+1为下角标)
对式子Xn+1=(Xn+Yn)/2两边取极限，得A=(A+B)/2,，从而A=B.