已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1．

解题思路：（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则函数解析式可求；
（2）分k在二次函数对称轴的两侧求得函数f（x）的最小值；
（3）构造函数令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，利用导数求其最小值，由最小值大于0求得m的取值范围．

（1）由二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1，得


f(0)＝c＝1
−
b
2a＝−1
f(−1)＝a−b+c＝0，解得a=1，b=2，c=1．
∴f（x）=（x+1）²；
（2）当x∈[-2，k]时，若-2≤k＜-1，f(x)min＝(k+1)2；
当x≥-1时，f（x）_min=0．
∴f(x)min＝

(k+1)2，−2≤k＜−1
0，k≥−1；
（3）令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，
则g′（x）=2x-3，
当x∈[-1，1]时g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[-1，1]上为减函数，
g（x）_min=1-3+1-m=-1-m，
由-1-m＞0，得m＜-1．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数最值得求法，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．