O为△ABC中的一点,证明向量AB=c,向量BC=a,向量CA=b,若向量OA·a=向量OB·b=向量OC=c,O是△A

你写错了吧,
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
由正弦定理,b/sin角CDA=DA/sin角ACD.a/sin角CDB=DB/sin角BCD.
所以DA/DB=（bsin角ACD/sin角CDA）/（asin角BCD/sin角CDB）=b/a,
sin角CDB=sin（180度-角CDB）=sin角CDA.
所以sin角ACD=sin角BCD,所以角ACD=角BCD
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.