（2013•长春一模）如图，抛物线y=ax2+bx-[5/2]过点A（-1，0）、B（5，0）．直线y=-x-1交抛物线

解题思路：（1）把点A和B的坐标代入抛物线解析式，计算即可求出a、b的值；（2）根据已知条件可设P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），因为PQ∥y轴，所以点Q横坐标为m，又因为Q在抛物线上，所以Q点的坐标为（m，12m2-2m-52），所以PQ=-m-1-（12m2-2m-52）=-12m2+m+32=-12（m-1）2+2，利用函数的性质即可求出PQ的最大值；（3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，利用二次函数的增减性解答即可；（4）设MN于x轴的 交点为G，则G的坐标为（2，0），首先证明四边形PQMN是平行四边形，当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又因为∠BAM=45°，所以四边形PQMN是正方形，再求出Q的纵坐标为-3，即12m2-2m-52=-3，解方程即可求出符合题意的m值．

（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax²+bx-[5/2]中，得


0＝(−1)2a+(−1)b−
5
2
0＝25a+5b−
5
2，
解得：

a＝
1
2
b＝−2，
∴a=[1/2]，b=-2；

（2）由（1）可知a=[1/2]，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=[1/2]x²-2x-[5/2]，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∵点P的横坐标为m，
∴P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），
∵PQ∥y轴，
∴点Q横坐标为m，
∴Q点的坐标为（m，[1/2]m²-2m-[5/2]），
∴PQ=-m-1-（[1/2]m²-2m-[5/2]）=-[1/2]m²+m+[3/2]=-[1/2]（m-1）²+2，
∴当m=1时，PQ的最大值为2；

（3）由（2）可知PQ=-m-1-（[1/2]m²-2m-[5/2]）=-[1/2]m²+m+[3/2]=-[1/2]（m-1）²+2，
∴PQ随m的增大而减小时m的取值范围是1≤m≤2；
（4）设MN于x轴的 交点为G，则G的坐标为（2，0），
∵M（2，-3），
∴MG=3，AG=3，
∴MG=AG，
∴∠BAM=∠AMG=45°，
∵PQ∥y轴，MN是对称轴，
∴PQ∥MN，
有∵PN∥QM，
∴四边形PQMN是平行四边形，
当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又∵∠BAM=45°，
∴四边形PQMN是正方形，
∴Q点的纵坐标是-3，即[1/2]m²-2m-[5/2]=-3，
解得：m₁=2-
3，m₂=2+
3（不合题意舍去），
∴m的值是2-
3．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点C的坐标代入函数解析式求出b、c的值是解题的关键，也是本题的突破口．