已知三棱柱ABC-A1B1C1中AA1⊥底面ABC,AA1=5√3,AB=2,AC=3,AB⊥AC,

这个问题的关键是找出球心在哪,何谓六个顶点都在球面上?就是这六个点到球心的距离都相等.
理解了这点,这道题就简单了,分析一下,这个三棱柱是底面为直角三角形的直三棱柱.先找出和一个底面ABC三点距离相等的点,
∵△ABC是直角三角形,
∴他的外心就是斜边的中点D
过点D作一条垂直于面ABC的直线,与C1B1相交于点D1
易证DD1上每一点到A,B,C 三点的距离都相等,则DD1的中点O就是外接球的球心.
即面CC1B1B的中心.
BC=√(2^2+3^2)=√13,OD=√(BC^2+CC1^2)*(1/2)=√22
∴球O的表面积=4π*OD^2=88π