（2013•十堰模拟）如图，矩形OABC绕点O逆时针旋转90°得，矩形OA′B′C′，已知OA=1，AB=3，抛物线y=
（2013•十堰模拟）如图，矩形OABC绕点O逆时针旋转90°得，矩形OA′B′C′，已知OA=1，AB=3，抛物线y=x2+bx+c过点A，C′，与y轴相交于点D．（1）求抛物线解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使PC+PB′最小？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）设M为x轴一动点，点M从点A出发沿x轴负半轴方向以1个单位/秒运动，多少秒后△MAD是等腰三角形？并求点M坐标．
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解题思路：（1）根据旋转的性质和矩形的性质可得OC′=OC=AB=3，求得点C′的坐标，再将点A，C′的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作点B′关于x轴的对称点B″，连接B″C，交x轴于点P，此时PC+PB′最小．运用待定系数法求出直线B″C的解析式，进而得到直线B″C与x轴的交点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（x，0），当△MAD是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①MA=MD；②AM=AD；③DM=DA．
（2）作点B′关于x轴的对称点B″，连接B″C，交x轴于点P，此时PC+PB′最小．运用待定系数法求出直线B″C的解析式，进而得到直线B″C与x轴的交点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（x，0），当△MAD是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①MA=MD；②AM=AD；③DM=DA．
（1）∵OA=1，∴A（1，0）．
∵矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转90°得矩形OA′B′C′，
∴OC′=OC=AB=3，
∴C′（-3，0）．
将点A（1，0），C′（-3，0）代入y=x2+bx+c，
得
1+b+c＝0
9−3b+c＝0，解得
b＝2
c＝−3，
∴抛物线解析式为y=x2+2x-3；
（2）作点B′关于x轴的对称点B″，连接B″C，交x轴于点P，此时PC+PB′=PC+PB″=B″C，值最小．
∵B′（-3，1）关于x轴的对称点为B″，
∴B″（-3，-1）．
设直线B″C的解析式为y=kx+m，
∵B″（-3，-1），C（0，3），
∴
−3k+m＝−1
m＝3，解得
k＝
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到矩形的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，旋转的性质，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
1年前
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