（2010•通州区模拟）已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为
（2010•通州区模拟）已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x1，x2），且方程f（x）=x的两实根为α，β．
（1）若|α-β|=1，求a，b的关系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求证：（x1+1）（x2+1）＜7．
（1）若|α-β|=1，求a，b的关系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求证：（x1+1）（x2+1）＜7．
赞 coursing 春芽
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解题思路：（1）要求a，b的关系式，可根据方程f（x）=x的两实根为α，β．结合韦达定理（根与系数的关系），用a，b表示α，β．又则|α-β|=1，给出a，b的关系，但在分析过程中，要注意方程有两个不相等的根时，方程的判别式大于零．
（2）由α＜1＜β＜2，我们可以根据零点的存在定理，我们可以得到f（1），f（2）异号，代入可以构造一个关于a，b的不等式组，画出他们表示的平面区域，利用线性规划不难得到结论．
（2）由α＜1＜β＜2，我们可以根据零点的存在定理，我们可以得到f（1），f（2）异号，代入可以构造一个关于a，b的不等式组，画出他们表示的平面区域，利用线性规划不难得到结论．
（1）由f（x）=x，得ax2+3x+b=0，由已知得9-4ab＞0，∴α+β＝−3a，αβ＝+ba∴|α−β|＝(α+β)2−4αβ＝1，∴9a2−4ba＝1．∴a2+4ab=9，∴a、b的关系式为a2+4ab=9．（2）令g（x）=ax2+3x+b，又a＜0，α＜1＜β...
点评：
本题考点： 简单线性规划的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
考点点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
1年前
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