若a>1,设函数f(x)=a^x+x-4的零点为m,g(x)=loga x +x-4 的零点为n,求1/m+1/n取值范

若a>1,设函数f(x)=a^x+x-4的零点为m,g(x)=loga x +x-4 的零点为n,求1/m+1/n取值范围.
答案能不能取到1啊.这m和n不可能相等吧...我觉得不可能,但是答案是能能取到1.
有人能判断出 m n 能否相等么
合玄 1年前 已收到1个回答 举报

洋介葱 幼苗

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函数f(x)=a^x+x-4的零点是函数y=a^x与函数y=4-x图象交点A的横坐标,
函数g(x)=loga x+x-4的零点是函数y=loga x与函数y=4-x图象交点B的横坐标,
由于指数函数与对数函数互为反函数,
其图象关于直线y=x对称,
直线y=4-x与直线y=x垂直,
故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是A,B的中点,
∴m+n=4,
∴1/m + 1/n = 1/4 (m+n)(1/m + 1/n ) = 1/4 (2+n/m+m/n) ≥1,
但这里m≠n,
故所求的取值范围是(1,+∞)

1年前 追问

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合玄 举报

答案是可以取到1。你能确定不相等么。

举报 洋介葱

这样呢 a^m+m-4=0 log[a]n+n-4=0 <=> a^(4-n)-n=0 <=> a^(4-n)+(4-n)-4=0 由于函数f(x)=a^x+x-4是单调增函数,所以f(x)=0有唯一根 从而m=4-n <=> m+n=4 又f(0)f(4)<0,所以f(x)在(0,4)上有根,从而0
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