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(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0(2分)
令$m=2,n=frac{1}{2}$,则$f(1)=f(2×frac{1}{2})=f(2)+f(frac{1}{2})$,
∴$f(frac{1}{2})=f(1)-f(2)=-1$(4分)
(2)设0<x1<x2,则$frac{x_2}{x_1}>1$
∵当x>1时,f(x)>0
∴$f(frac{x_2}{x_1})>0$(6分)
$f({x_2})=f({x_1}×frac{x_2}{x_1})=f({x_1})+f(frac{x_2}{x_1})>f({x_1})$(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数(10分)
(3)∵y=4sinx的图象如右图所示
又f(4)=f(2×2)=2,f(16)=f(4×4)=4
由y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)=0,f(16)=4可得y=f(x)的图象大致形状如右图所示,
由图象在[0,2π]内有1个交点,
在(2π,4π]内有2个交点,
在(4π,5π]内有2个交点,又5π<16<6π,
后面y=f(x)的图象均在y=4sinx图象的上方.
故方程4sinx=f(x)的根的个数为5个(16分)
1年前
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