已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1) y ² =4x(x≥0)和y=0(x<0) (2) 16

(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得 -|x|=1.化简得y ² =2x+2|x|,
当x≥0时,y ² =4x;当x<0时,y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为
y ² =4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由题意知,直线l ₁ 的斜率存在且不为0,设为k,则l ₁ 的方程为y=k(x-1).
由 得k ² x ² -(2k ² +4)x+k ² =0.
设A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),则x ₁ ,x ₂ 是上述方程的两个实根,于是x ₁ +x ₂ =2+ ,x ₁ x ₂ =1.
因为l ₁ ⊥l ₂ ,所以l ₂ 的斜率为- .
设D(x ₃ ,y ₃ ),E(x ₄ , y ₄ ),
则同理可得x ₃ +x ₄ =2+4k ² ,x ₃ x ₄ =1.
· =( + )·( + )
= · + · + · + ·
= · + · =| |·| |+| |·| |
=(x ₁ +1)(x ₂ +1)+(x ₃ +1)(x ₄ +1)
=x ₁ x ₂ +(x ₁ +x ₂ )+1+x ₃ x ₄ +(x ₃ +x ₄ )+1
=1+(2+ )+1+1+(2+4k ² )+1
=8+4(k ² + )≥8+4×2 =16.
故当且仅当k ² = ,即k=±1时, · 取最小值16.