设数列an满足a1=4,an=(1/3)(an-1 +2),求lim(a2+a4+...+a2n -3n)

哦，重新写一下，其实方法一样的。 n≥2时，an=(1/3)a(n-1) +2 an -3=(1/3)a(n-1) -1=(1/3)[a(n-1) -3] (an -3)/[a(n-1)-3]=1/3，为定值。 a1 -3=4-3=1，数列{an -3}是以1为首项，1/3为公比的等比数列。 an -3=1×(1/3)^(n-1)=1/3^(n-1) an=3 +1/3^(n-1) 考察数列偶数项a(2k)=3+1/3^(2k-1)=3+ 3×(1/9)^k a2+a4+...+a(2n)-3n =3n+3×(1/9+1/9²+...+1/9ⁿ) -3n =3×(1/9)×(1-1/9ⁿ)/(1-1/9) =3/8 -(3/8)/9ⁿ n->+∞，9ⁿ->+∞ (3/8)/9ⁿ->0 3/8-(3/8)/9ⁿ->3/8 lim[a2+a4+...+a(2n)-3n]=3/8 n->+∞