已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．

解题思路：（1）先求出函数f（x）的导函数，求出切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上单调，则f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，从而等价x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判别式建立关系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值即可．

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]…（1分）
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），…（2分）f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A （1，f （1）） 处的切线方程为y-3e=5e （x-1），
即5ex-y-2e=0…（4分）
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f （x） 在R上单调等价于 x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立…．（6分）
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a 的取值范围是[-2，2]，…（8分）
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（3）当a＝
5
2时，f(x)＝(x2+
5
2x+2)ex，f′(x)＝ex(x2+
9
2x+
9
2)
…（10分）
令f'（x）=0，得x=-3，或x＝−
3
2
令f'（x）＞0Z，得x＜−3或x＞−
3
2，
令f'（x）＜0Z，得−3＜x＜−
3
2…（12分）
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x （-∞，-3） -3 (−3，−
3
2) −
3
2 (−
3
2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以，函数f（x）的极小值为f（−
3
2）=[1/2e−
3
2]…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题，同时考查了计算能力、转化与划归的思想，属于综合题．