设函数f(x)=(2-a)lnx+1x+2ax；（a∈R）．

解题思路：（1）先求导函数为0的根，在看根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
（2）先求导函数，再求导函数为0的根，利用导函数大于0的区间为原函数的增区间，导函数小于0的区间为原函数的减区间来求单调区间即可．
（3）先判断出原函数在区间[

1

2

，6+n+

1

n

]上的单调性，再利用单调性把f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立转化为mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)对一切正整数成立即可求出正整数m是否有最大值．

（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f(x)=2lnx+
1
x，f′(x)=
2
x-
1
x2=
2x-1
x2．
令f'（x）=0，解得x=
1
2．
当0＜x＜
1
2时，f'（x）＜0；当x＞
1
2时，f'（x）＞0．
又f(
1
2)=2-2ln2，所以f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（2）f′(x)=
2-a
x-
1
x2+2a=
2ax2+(2-a)x-1
x2．
令f'（x）=0，解得x1=-
1
a，x2=
1
2．
若a＞0，令f'（x）＜0，得0＜x＜
1
2；令f'（x）＞0，得x＞
1
2．
若a＜0，
①当a＜-2时，-
1
a＜
1
2，令f'（x）＜0，得0＜x＜-
1
a或x＞
1
2；
令f'（x）＞0，得-
1
a＜x＜
1
2．
②当a=-2时，f′(x)=-
(2x-1)2
x2≤0．
③当-2＜a＜0时，得-
1
a＞
1
2，
令f'（x）＜0，得0＜x＜
1
2或x＞-
1
a；令f'（x）＞0，得[1/2＜x＜-
1
a]．
综上所述，当a＞0时，f（x）的递减区间为(0，
1
2)，递增区间为(
1
2，+∞)．
当a＜-2时，f（x）的递减区间为(0，-
1
a)，(
1
2，+∞)；递增区间为(-
1
a，
1
2)．
当a=-2时，f（x）递减区间为（0，+∞）．
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为(0，
1
2)，(-
1
a，+∞)，递增区间为(
1
2，-
1
a)．
（3）当a=2时，f(x)=
1
x+4x，
由f′(x)=-
1
x2+4=
4x2-1
x2，知x∈[
1
2 ，6+n+
1
n]时，f'（x）≥0.f(x)min=f(
1
2)=4，f(x)max=f(6+n+
1
n)．
依题意得：mf(
1
2)＜4f(6+n+
1
n)对一切正整数成立．
令k=6+n+
1
n，则k≥8（当且仅当n=1时取等号）．
又f（k）在区间[6+n+
1
n，+∞)单调递增，得f(k)min=32
1
8，
故m＜32
1
8，又m为正整数，得m≤32，
当m=32时，存在a1=a2═a32=
1
2，a_m+1=a_m+2=a_m+3=a_m+4=8，对所有n满足条件．所以，正整数m的最大值为32．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．