已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥ BC，垂足为F

证明：（1）连接DO．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，（2分）
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；（3分）

（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=
1
2 AB=2．
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=
1
2 CD=1．
∴DF=
C D 2 -C F 2 =
3 ；（5分）

（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S _{直角梯形FDOE} =
1
2 （EF+OD）•DF=
3
3
2 ，
∴S _扇形OED =
60π× 2 2
360 =
2π
3 ，
∴S _阴影 =S _{直角梯形FDOE} -S _扇形OED =
3
3
2 -
2π
3 ．（7分）

1年前