（2014•呼和浩特一模）已知点A（-1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|AM|•|BM|co

解题思路：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3，可求得|

AM

|+|

BM

|为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b可求，从而求得椭圆的方程．
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y₁-y₂）²的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．

（1）由题意，|AM|＝|

AM|，|BM|＝|

BM|
设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）²-2|AM|•|BM|（1+cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）²-4|AM|•|BM|cos²θ=4
∵|

AM|•|

BM|cos²θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴|

AM|+|

BM|=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
x2
4+
y2
3＝1
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与
x2
4+
y2
3＝1，
消元可得：（3m²+4）y²+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有S=[1/2]×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=−
6m
3m2+4，y₁y₂=−

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．

考点点评： 本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．